В чем измеряется кривизна параболического зеркала

В чем измеряется кривизна параболического зеркала

Если в центре кривизны центральной зоны параболического зеркала поместить «звезду» или щель и с помощью ножа получить теневую картину всего зеркала, она уже не будет «плоским рельефом». Для небольших зеркал с малым относительным отверстием достаточно испытать его из центра кривизны центральной зоны и центра кривизны края зеркала и, установив нож точно посередине между этими центрами, убедиться в том, что «вершина» «бублика» лежит на зоне 70 % радиуса заготовки зеркала (см, рис. 50а, в, д).

Вычислив аберрацию параболического зеркала при испытаниях из центра кривизны по формуле для теневого прибора с неподвижным источником света (рис. 44) или по формуле для подвижного источника (рис. 52) и разделив эту аберрацию пополам,

Таблица 10. Замеры продольных аберраций для зеркала D = 250, f ‘= 1000 мм

Разница вычесленных и средних аберраций

мы можем начинать испытания. С большими зеркалами процедура измерений усложняется, так как недостаточно промера аберраций только по трем зонам.

Рассмотрим конкретный пример. Испытывается зеркало диаметром 250 мм с относительным отверстием 1/4. Его фокусное расстояние равно 1000 мм, а радиус кривизны 2000 мм. Продольная аберрация D S=250 2 / 16*1000 = 3,9 мм. Разметим зеркало на зоны с таким расчетом, чтобы продольные аберрации каждой зоны отличались на одну и ту же величину. Можно разбить продольную аберрацию на шесть равных отрезков: 0,65, 1,30, 1,95, 2,60, 3,25, 3,90 мм. Чтобы найти радиусы зон, которым соответствуют эти аберрации, воспользуемся формулой , где x — отрезок продольной аберрации. Получим y₁ =51 мм, y₂ =72 мм, у ₃ =88 мм, у ₄=102 мм, y ₅ =114 мм, у ₆=125 мм. Проволочную маску для зеркала рис. 50,е сделаем с учетом этих радиусов зон.

Теперь установим нож с таким расчетом, чтобы центральная часть зеркала покрылась полутенью. К сожалению, невозможно точно определить границы полутени в центре зеркала. Поэтому сразу установим нож так, чтобы полутень расположилась на зоне с радиусом 51 мм. Теперь, осторожно отодвинем нож до тех пор, пока полутень не расположится на зоне с радиусом 72 мм и запишем показание индикатора. Скорее всего оно не будет равно вычисленному. Так, проходя полутенью по всем зонам, запишем в табличку реальные значения продольных аберраций.

Рассмотрим конкретный пример промера аберраций 250-миллиметрового параболоида (табл. 10).

После окончания первого ряда промеров чуть сместим теневой прибор вдоль оси зеркала и снова промерим аберрации. Ясно, что показания индикатора сами по себе еще не равны аберрациям, и мы должны брать разность двух замеров. После проведения трех-пяти проходов ножа вдоль оси вычислим среднеарифметическое для каждого значения аберрации двух соседних зон, чтобы повысить точность промеров.

Подобным образом испытывается любое вогнутое зеркало любого диаметра и относительного отверстия.

Во время промеров постоянно надо помнить, что нож стоит в центре кривизны зоны, на которой видна полутень. Получив значения аберраций, проанализируем разницу между вычисленными и реальными значениями (см. последнюю колонку таблицы). Ясно, что если аберрация меньше вычисленных на этой зоне, нужно углубить зеркало и тем самым увеличить кривизну. Если аберрация больше вычисленных, кривизну нужно уменьшить или “приподнять” зону. Однако в действительности приподнять зону во время полировки нельзя, поэтому придется опустить остальную поверхность кроме этой зоны. Именно поэтому “ямы” и “канавы” на зеркале неприятнее “бугров” и “валиков”.

С какой точностью нужно делать замеры продольных аберраций? Это зависит от нескольких причин и в первую очередь от той точности, с которой мы сможем измерять перемещение ножа вдоль оси, радиусы зон на зеркале с помощью маски. Посмотрим, как будет зависеть предельно малое относительное фокусное расстояние зеркала от этих величин. Для этого воспользуемся готовыми формулами, заимствованными из статьи А. С. Мажуга [32]: и , где d — погрешность поверхности зеркала, равная l / 8 или 0,00007 мм. Тогда погрешность в измерении перемещения ножа D x = 0,01 мм еще допустима при исследовании зеркал с относительным фокусным расстоянием, но не меньше. А погрешность в измерении радиуса зон с помощью маски в 1 мм позволит исследовать зеркала с относительным фокусным расстоянием » ₂ = 3,8.

Здесь важно заметить, что многократные промеры одной и той же аберрации и нахождение среднего арифметического позволит повысить точность измерений D x и D y по крайней мере вдвое, а это значит, что можно исследовать зеркала с относительными отверстиями 1/1,6 и 1/3,0. Таким образом все зеркала с относительными фокусными расстояниями больше указанных могут исследоваться обычными любительскими средствами. Но нужно добавить и то, что со временем любитель, приобретая опыт, может по нюансам теневой картины, по тому, насколько плавно перемещается полутень по зеркалу, судить о форме поверхности еще глубже, чем механическое суждение на основании промеров. Это еще несколько повысит точность измерений. Интуиция опытного мастера в самых сложных случаях может сыграть решающую роль.

Отступление параболоида от сферы на 1/8 длины волны света еще не сказывается заметно на качестве изображения. Это значит, что в предыдущем примере мы можем центральную часть до определенной зоны вообще не фигуризовать. Эта зона имеет радиус , если l =0,00056 мм. Тогда у 250-миллиметрового зеркала центральная часть до зоны y =65 мм (диаметр этой части зеркала 130 мм) может не параболизоваться. Оставшиеся 60 мм по радиусу заготовки нужно параболизовать, но на величину D S- D S’ , где D S’ — значение вычисленной заранее аберрации. В нашем примере разница в продольной аберрации между зоной 65 мм и краем зеркала составляет 3,9—1,06=2,84.

В чем измеряется кривизна параболического зеркала

Итак, подошло время приступить к контролю формы оптической поверхности. Чем же отличается испытание параболического зеркала от сферического? Вспомним, что у сферы кривизна поверхности одинакова во всех ее точках, у параболоида кривизна меняется от центра к краю зеркала, плавно уменьшаясь по квадратичному закону. Поэтому, при испытании сферического зеркала нам требовалось получить «плоский» или близкий к плоскому рельеф. При изготовлении параболоида мы должны измерить кривизну на разных зонах зеркала, убедившись, что она изменяется по закону параболы. Кроме того, помня о существовании критерия Рэлея (см. статью «Как самому изготовить зеркало для небольшого телескопа-рефлектора системы Ньютона»), который определяет точность изготовления оптической поверхности, мы должны соблюсти допуск на отклонение нашей поверхности от идеальной. Этот допуск в нашем случае определяется максимальным и минимальным значениями продольной аберрации. Л.Л.Сикорук так определяет вид параболического зеркала при теневом испытании в своей книге «Телескопы для любителей астрономии» (см. Библиографию): «. плавный «бублик с «вершиной» на расстоянии 0,7 радиуса от центра заготовки зеркала и с заданной продольной аберрацией«.

Из сказанного следует, что наш простейший «теневик» уже не удовлетворяет поставленной задаче, требуется более совершенный прибор, и такой прибор был мною построен специально для изготовления параболического зеркала.

За основу я принял прибор, описанный в книге Ж. Тексеро «Как построить телескоп» (J. Texereau, «How to Make a Telescope»). Различные варианты подобной конструкции встречаются в интернете ( http://stellafane.org/tm/atm/test/tester-1.html).

Устройство подвижной части прибора основано на том, что положение плоскости определяется тремя точками. Этими точками являются две подвижные опоры, скользящие по металлическому стержню и опорный винт, служащий одновременно для перемещения головки прибора в направлении, перпендикулярном оптической оси зеркала. Опирается винт на полоску зеркального стекла, толщиной 4. 6 мм. Подвижные опоры представляют собой пластины из бронзы или (как в моем случае) фторопласта с угловыми вырезами и являются своеобразными саморегулирующимися подшипниками скольжения, которые двигаются по направляющему стальному стержню. Такой стержень несложно подобрать из деталей старой, нерабочей оргтехники. Можно выточить его на станке, поверхность желательно отполировать.

Описываемая конструкция легко выполнима любителем самостоятельно, практически свободна от люфтов, обладает хорошей устойчивостью. Передвижение головки прибора в двух взаимноперпендикулярных направлениях осуществляется двумя винтами, которые можно подобрать из готовых деталей, а можно выточить на токарном станке.

Отличие моего прибора от конструкции, описанной в книге Ж.Тексеро заключается, в основном, в применении подвижного источника освещения. Это позволяет уменьшить расстояние между «звездой» (или щелью) и «ножом» (или нитью). В качестве источника света я применил зеленый светодиод. Комбинация его с различными насадками позволила применять различные методы испытания: «звезда» и «нож», щель и «нож», щель и нить.

Работа с построенным прибором доставила настоящее удовольствие, а его изготовление не менее интересно, чем собственно строительство телескопа!

Для надежности я решил не ограничиваться одним только методом испытания: «звезды» и «ножа». Поэтому я сделал комбинированную насадку, которая включала «нож» и нить, а звезду можно было заменять щелью.

Кроме того, чтобы проверить точность измерения перемещений при помощи лимба, я применил для той же цели дисковый индикатор. Это оказалось излишним. Лимб, т.е. барабан, установленный на оси винта продольных перемещений, позволяет с достаточной точностью, по крайней мере с погрешностью не хуже 0,05 мм отмечать положение головки прибора. Нужно заметить только, что винт должен иметь резьбу с шагом 1 мм, тогда один поворот винта будет соответствовать продольному перемещению на 1 мм. Окружность барабана можно легко разметить, наклеив полоску миллиметровой бумаги.

Зеркало устанавливалось на подставку, а для разметки его на зоны использовалась маска, вырезанная из плотной бумаги.

Хочу заметить следующее: работа с прибором показала, что для не очень светосильных зеркал среднего размера, достаточно испытаний при помощи «звезды» и «ножа». Более того, когда продольная аберрация невелика, т.е. поверхность зеркала близка к сферической, определение положения зон при помощи нити становится затруднительным, так как и в фокусе центральной зоны, и на большинстве промежуточных зон, почти до самого края, тень от нити расплывается почти на всю поверхность зеркала и только на крайней зоне выглядит в виде кольца. Когда мое зеркало имело резко выраженную гиперболическую поверхность, то тень нити выглядела кольцеобразно, для фокусов всех зон. Когда аберрация уменьшилась, пришлось перейти преимущественно на щель и «нож» в сочетании с маской, что позволило уверенно определять фокусы трех зон, по которым я судил о форме зеркала.

Рассмотрим теперь испытание параболического зеркала по зонам подробнее.

Схема расположения фокусов зон, по которым проводится испытание зеркала.

A,B,C — фокусы: центральной зоны, зоны диаметром 0,707D и крайней зоны зеркала.

Фотографии теневых картин при испытании зеркала.

Испытание зеркала по трем зонам производится следующим образом. Сначала «нащупывается» фокус центральной зоны. Для этого «нож» из предфокального положения, в котором, как мы знаем, одна половина зеркала (в нашем случае — правая) залита тенью, а другая освещена, передвигается продольно от зеркала к наблюдателю до тех пор, пока в центре зеркала не появится кружок полутени. Зеркало при этом похоже на пологий конус со срезанной вершиной (фото слева). Берется отсчет по лимбу или по дисковому индикатору. Это фокус центральной зоны зеркала — «A».

Затем определяется фокус крайней зоны — «C». При этом теневая картина выглядит так, как на правой фотографии: половина зеркала, противоположная направлению, с которого вводится «нож», заполнена тенью, а на другой стороне, по краю зеркала видна узкая полоска полутени. Для этого положения ножа также берется отсчет.

Разность отсчетов будет продольной аберрацией. Разделив ее пополам, и установив головку прибора в среднее положение — «B», мы должны увидеть картину, соответствующую среднему фотоснимку. У параболического зеркала эта картина напоминает «бублик», вершина которого лежит на растоянии 0,707 радиуса от центра. При заданной продольной аберрации, конечно.

Какое же значение должна иметь эта аберрация, и как его определить? Для испытания с подвижным источником освещения, т.е., когда «звезда» и «нож» расположены на одном подвижном основании, продольная аберрация вычисляется по формуле:

Δs — величина продольной аберрации,

D — диаметр зеркала,

R — радиус кривизны ценральной зоны зеркала (равен удвоенному фокусному расстоянию).

Для прибора с неподвижным источником света величина продольной аберрации будет вдвое больше, и вычисляется по формуле:

Таким образом, для нашего зеркала, имеющего световой диаметр 155 мм, а фокусное расстояние 1070 мм (радиус кривизны 2140 мм), продольная аберрация должна составлять 1,40 мм. Для определения допустимой погрешности воспользуемся таблицей 11 на стр. 87 книги «Телескопы для любителей астрономии» Л.Л. Сикорука. Для нашего зеркала эта погрешность составит 60%. То есть нам нужно уложиться в значение продольной аберрации 0,56. 2,24 мм.

Наконец, я хочу вкраце сказать о, так называемом «втором методе щели и нити».

При исследовании зеркала этим методом, нить помещается несколько в стороне от оптической оси зеркала, при этом ее форма позволяет судить о форме зеркала в целом, указывая на отклонение ее от сферической. В случае сферического зеркала тень нити будет прямой линией.

Сочетание этих методов при исследовании зеркала позволяет более полно и точно определять его форму, дает любителю богатый опыт, который пригодится ему в дальнейшем при работе над более крупными и светосильными зеркалами. При изготовлении крупной и светосильной оптики исследования по трем зонам бывает недостаточно, зеркало разбивается на большее число зон, для каждой из которых определяются положения их центров кривизны (или фокусов, что при исследовании из центра кривизны — одно и тоже).

Метод фокограмм.

Метод фокограмм, как его назвал наш выдающийся оптик Д.Д. Максутов, заключается в фотографировании теневых картин фотокамерой, которая помещается сзади «ножа» или нити теневого прибора вместо глаза наблюдателя.

Полученные при этом фотоснимки позволяют более объективно судить о форме оптической поверхности, так как на пленке (или на светочувствительной матрице цифрового аппарата), запечатлеваются более слабые детали теневой картины, чем может уловить глаз. Кроме того на снимке можно непосредственно, путем соответствующий измерений, определить расположение тех или иных деталей «рельефа» — валиков, канавок и т.д., а затем соответствующим образом подрезав или отформовав полировальник, направить фигуризацию в желательном направлении.

Для фотографирования теневых картин следует использовать фотоаппарат с длиннофокусным объективом, чтобы получить изображение зеркала в достаточно большом масштабе. Объектив перед испытанием фокусируется на поверхность зеркала, затем, уже в темноте, через видоискатель наблюдаются теневые картины, которые мы хотим заснять. Выдержка, при использовании фотопленки чувствительностью ISO 200. 400 ед., может составлять от нескольких секунд до 1. 2 минут, в зависимости от освещенности поверхности зеркала и определяется опытным путем.

• Первоначальная обработка заготовки. Обдирка.
• Изготовление шлифовальника.
• Шлифовка зеркала.
• Полировка зеркала.
• Теневое испытание.
• Придание зеркалу оптически точной формы.
• Заключение.

В чем измеряется кривизна параболического зеркала

Рассмотрим конкретный пример фигуризации 200-миллиметрового зеркала с радиусом кривизны при вершине 2400 мм. Результаты промеров аберраций приведен в табл. 13.

В конце фигуризации, когда метод Лакруа показывает, что зеркало достаточно точное, интересно построить не график аберраций, а реальный профиль зеркала, на котором можно воочию увидеть отклонения от идеальной поверхности. Здесь мы изложим один из таких способов, предложенный Д. Д. Максутовым [З].

Отклонение участка поверхности от расчетной приводит к уклонению отраженного луча на угол h ,значение которого в радианах равно .

Таблица 13. Измерение продольных аберраций параболического зеркала

D S 1-ое измерение

D S 2-ое измерение

Здесь D R_y — разница между точным значением продольной аберрации параболоида и ее реальной величиной. Вычисления проведем с помощью табл. 14. В первой

Таблица 14. Вычисление профиля зеркала

После первого измерения аберраций

После окончания фигуризации

колонке запишем радиусы зон зеркала, во второй — разницу между вычисленной заранее аберрацией и реальной. По приведенной формуле вычислим угол уклонения луча и полученный результат запишем в третью колонку. Значения очень малы, и чтобы в дальнейшем облегчить работу, можно числа этой колонки умножить на миллион (10 6 ). Тогда результат получится не в миллиметрах, а в

Рис. 57. Профиль зеркала в соответствии с табл. 14: 1—до исправления, 2—после исправления.

нанометрах (миллимикронах), В четвертой колонке запишем усредненные значения углов. Для этого алгебраическую (с учетом знака) сумму углов данной строки и предыдущей разделим пополам. Пятая колонка содержит разность между радиусами данной и предыдущей зон. В шестой колонке помещены произведения чисел из четвертой и пятой колонок. В последней, седьмой колонке даны суммы чисел из шестой колонки для каждой данной зоны и всех ей предшествующих зон. Например, для зоны радиусом 78 мм нужно сложить числа 0,0, +55,4, +58,9 и +64,4. В результате получим 178,7. Эту величину и записываем в седьмую колонку для зоны 78 мм.

В первой половине табл. 13 приведен результат вычислений для случая, когда зеркало фигуризовано не окончательно. Нанеся числа седьмой колонки на график (рис. 57), видим, что максимальная погрешность составляет примерно 200 нм, или 0,3 6 l . Так как идеальный параболоид изображается на графике горизонтальной линией, то для данного зеркала нужно “опустить” весь центр внутри зоны радиусом 90 мм.

После нескольких сеансов фигуризации были получены значения аберраций, записанные в четвертой колонке табл. 13. На основании этих значений был снова вычислен профиль, который внесен в седьмую колонку второй половины табл. 14. Теперь на графике кривая 2 отклоняется от горизонтали всего на 24 нм. Погрешность поверхности не более l /23. Это очень хорошее зеркало, и не страшно, что его край немного подвернут.

Продольная аберрация идеальной сферы при испытании из центра кривизны равна нулю. Поэтому значения реальных аберраций сразу вносятся во вторую колонку таблицы. В этом случав сфера на графике изображается горизонтальной прямой.

Кривые зеркала

Обычное зеркало, с которым мы хорошо знакомы, — плоское зеркало. Для того чтобы производить четкое отражение, отражающая поверхность должна быть плоской. Зеркало может быть как прямым, так и кривым. Параллельные лучи света, отраженные от искривленной поверхности, больше не являются параллельными, но и во всех направлениях они не разлетаются. Отражение упорядоченно, и лучи света могут сходиться или расходиться.

Самый простой пример искривления — это часть сферы. Если вы смотрите снаружи, так что она похожа на горку и ближе всего к вам ее центр, то это выпуклая поверхность. Если вы смотрите изнутри, как будто глядите в яму, и центр ее максимально от вас удален, то это вогнутая поверхность.

Сферический участок стекла, правильным образом посеребренный, является сферическим зеркалом. Если он посеребрен по выпуклой поверхности так, что зеркальной является его вогнутая сторона, то это, разумеется, вогнутое сферическое зеркало.

Центр сферы, частью которой является кривое зеркало, является центром искривления. Линия, соединяющая центр искривления со средней точкой зеркала, называется главной осью зеркала.

Допустим, пучок света, параллельный главной оси, падает на вогнутую отражающую поверхность. Луч, который оказывается на самой главной оси, падает перпендикулярно и отражается таким же. Луч же, падающий рядом с главной осью, но не на нее, зеркало отражает так, что луч уходит под небольшим углом к нормали. Он отражается по другую сторону от нормали, немного искривляясь по направлению к главной оси. Если луч света падает дальше от главной оси, зеркало больше изменяет его угол и сильнее искривляет его по направлению к главной оси. Поскольку зеркало — участок сферы и отражает одинаково по всем направлениям от главной оси, то это одинаково верно для всех лучей, падают ли они справа или слева от главной оси, выше или ниже ее. Отражения от каждой части зеркала сближаются к главной оси; отраженные лучи сходятся.

Вогнутое сферическое зеркало

Если бы мы рассматривали только те лучи, которые падают близко к середине зеркала, мы обнаружили бы, что они сходятся таким образом, чтобы встретиться на ограниченном пространстве; фактически в одной точке. Эта точка называется фокусом (от латинского слова, означающего «очаг, где пылает огонь»). Фокус падает на главную ось на полпути от середины зеркала до центра искривления.

Фактически отраженные лучи встречаются не в самой точке фокуса. Это становится очевидным, если мы рассмотрим лучи, падающие на сферическое зеркало в отдалении от главной оси. Отражения этих лучей проходят на достаточно большом расстоянии от фокуса. Это называется сферической аберрацией (от латинского «заблудиться»). Эти далекие лучи падают между фокусом и самим зеркалом и отражаются со слишком большим углом. Другими словами, зеркало слишком сильно искривлено, чтобы все лучи попадали в фокус. Для того чтобы избежать этого, нужно зеркало, искривленное менее резко, чем участок сферы. Нужное искривление — параболоидное.

Если продолжить участок сферы, он сформирует сферу и замкнется. Параболоид же выглядит как сегмент сферы лишь на небольшом участке вокруг центральной точки. Если его продолжить и увеличить, он не замкнется. Он будет изгибаться все меньше и меньше, пока его стенки не станут почти прямыми, в результате чего получится длинный цилиндр, очень медленно расширяющийся. Зеркало, сделанное в виде части такого параболоида (имеется в виду участок вокруг центра), называется параболическим зеркалом.

Если пучок световых лучей, параллельный главной оси такого параболического зеркала, падает на его вогнутую поверхность, лучи действительно сходятся в фокусе, без всякой аберрации.

Чтобы произвести подобный пучок света, состоящий из параллельных лучей, мы должны, строго говоря, представить точечный источник света на главной оси на бесконечно далеком расстоянии от зеркала. Если этот источник находится на конечно далеком расстоянии, то лучи, движущиеся от такого источника к зеркалу, не являются четко параллельными, они немного расходятся. Каждый луч попадает на поверхность зеркала под углом к нормали, который немного меньше, чем мог бы быть, если бы лучи были действительно параллельны, и соответственно отражается под меньшим углом.

Следовательно, лучи сходятся не в фокусе, а дальше от зеркала. Если расстояние от точечного источника света велико по сравнению с фокусным расстоянием (которое для большинства параболических зеркал составляет несколько дюймов), то точка, в которой сходятся лучи, очень близка к фокусу — настолько близка, что разницу между ними можно игнорировать.

Если источник света приближается, то отраженные лучи сходятся все дальше и дальше от зеркала. Когда источник света находится в двух фокусных расстояниях от зеркала, то в конечном итоге отраженные лучи сходятся на самом же источнике; если он придвигается еще ближе, то отраженные лучи сходятся на точке позади него.

В итоге если источник света находится в самом фокусе, то отраженные лучи вообще перестают сходиться и становятся параллельными. (Можно сказать, что точка конвергенции — точка, где встречаются лучи, — переместилась на бесконечно далекое расстояние от зеркала.) Автомобильные фары устроены именно так. Их внутренняя поверхность — параболическое зеркало, и маленькая лампочка находится в фокусе. Поэтому фары излучают вперед вполне прямой пучок света.

Пусть расстояние от источника света до зеркала равно D₁, a расстояние от точки конвергенции до зеркала равно D₁. Расстояние от фокуса до зеркала обозначим f. Тогда окажется верной следующая зависимость:

Мы можем проверить его для случаев, которые мы только что обсудили. Предположим, что источник света находится очень далеко, практически бесконечно отдален. В таком случае D₀ чрезвычайно велико, а 1/D₀ чрезвычайно мало. Фактически можно считать, что 1/D₀ равно нулю. В таком случае уравнение 2.2 выглядит как 1/D₁ = 1/f и 1/D₁ = f, что означает, что отраженные лучи света встречаются в фокусе.

Если источник света находится на главной оси, но на расстоянии в два раза большем фокусного от зеркала, то D₀ = 2f, и уравнение 2.2 приходит к виду: 1/2f + 1/D₁ = 1/f. Решив это уравнение, мы получаем, что D₁ = f. Другими словами, отраженные лучи в этом случае сходятся в той же точке, где находится и сам источник света.

А если источник света расположен в фокусе? В этом случае D₀ = f, и уравнение 2.2 выглядит как 1/f + 1/D₁ = 1/f, из чего мы видим, что 1/D₁ = 0. Но если 1/D₁ = 0, значит, D₁ должно стремиться к бесконечности. Расстояние от зеркала до точки, где сходятся лучи, бесконечно, и, следовательно, лучи вообще не сходятся — они параллельны.

В предыдущем разделе я предположил, что источник света — точка. На самом деле, конечно, он не бывает точечным. Предположим, что источник света — пламя свечи, которое, естественно, имеет площадь.

Часть пламени находится чуть выше главной оси, часть — чуть ниже, часть — слева, часть — справа. Лучи света, исходящие из точки выше главной оси, отражаются чуть ниже истинной точки конвергенции (той, что была бы истинной точкой, если бы пламя свечи было точечным источником света); те же лучи, которые исходят из точки ниже главной оси, отражаются в точку выше точки конвергенции; те, что исходят из точки слева, отражаются вправо. Если мы рассмотрим каждый луч по отдельности, то чем больше расстояние от главной оси до точки, откуда он исходит, тем больше расстояние от точки конвергенции до точки, куда он приходит, но с другой стороны.

В результате в той области, где встречаются отраженные лучи, получается отражение, в котором перевернуты не только лево и право (как в плоском зеркале), но и верх и низ. Получается перевернутое отражение; если вы посмотрите на свое отражение в начищенной ложке, вы увидите себя вверх ногами.

Отражение, производимое таким вогнутым зеркалом, отличается от плоского отражения еще одним. Изображение, создаваемое плоским зеркалом, как было уже сказано, находится не позади зеркала, как кажется, поэтому это мнимое изображение. В случае же вогнутого зеркала изображение создается перед зеркалом посредством встречающихся лучей. Изображение действительно здесь, до него можно дотронуться; следовательно, это реальное изображение.

Разумеется, трогая это реальное изображение, вы ничего не почувствуете, потому что прикосновение ассоциируется у нас с прикосновением к материи. Параболическое зеркало не отражает материю; оно отражает свет, и его нельзя потрогать в обычном смысле этого слова. Однако вы можете почувствовать свет, когда он, поглощаясь кожей, превращается в тепло, и в этом смысле, чувствуя тепло, вы «трогаете» изображение.

Находясь в шести футах от свечи, палец получает немного тепла от той доли излучения, что падает прямо на него. Однако палец получает малую долю всего излучения и нагревается незначительно.

Вогнутое зеркало перехватывает больше излучения от свечи и сводит его в небольшом объеме пространства. Если палец сунуть в точку конвергенции, он почувствует больше тепла, чем где-либо поблизости.

Возможно, концентрация тепла возрастет слишком в малой степени, чтобы это можно было почувствовать, но если использовать вогнутое зеркало для концентрации лучей солнца, то это вы точно почувствуете. Построены большие параболические зеркала, которые захватывают солнечное излучение на большой площади и собирают его воедино. В фокусе солнечных печей достигались температуры до 7000 °С.

Зеркало плавающей кривизны может выдавать странные и смешные искажения изображения, как знает любой, кто побывал в парке аттракционов. Однако хорошее отражение с чистого зеркала неискаженной формы может выглядеть полностью правильным, особенно если края зеркала спрятаны так, чтобы со стороны нельзя было заподозрить его наличие.

Случайный зритель может перепутать изображение и реальность, и на этом основываются некоторые фокусы. Естественно, реальное изображение дразнит еще лучше, чем мнимое. В Бостонском научном музее реальное изображение проецируется таким образом, чтобы казалось, что монеты сыплются в перевернутый кубок вопреки закону тяготения. Зрители (как взрослые, так и дети) без устали подставляют руки туда, где должны быть монеты. Вся их нематериальность не может убедить глаза, что монет здесь нет.

Предположим, что источник света приблизили к зеркалу еще ближе фокусного расстояния. В этом случае отраженные лучи не сходятся и не являются параллельными; они расходятся. Такие расходящиеся лучи, распространяясь с поверхности в пространство, можно рассматривать как сходящиеся, если проследовать по ним за зеркало. В самом деле, если мысленно продолжить лучи сквозь поверхность зеркала в пространство за ним, то они сойдутся в одной точке. И в этой точке вы увидите изображение. Поскольку оно формируется позади зеркала, там, куда свет на самом деле не проникает, то это мнимое изображение, как и на плоском зеркале, и, как в случае с плоским зеркалом, изображение сориентировано верхом кверху.

Уравнение 2.2 можно применить к этой ситуации. Если источник света ближе к зеркалу, чем фокус, то D₀ меньше, чем f, и 1/D₀ должно соответственно быть больше, чем 1/f (Если это для вас не очевидно, то вспомните, что 2 меньше, чем 4, в то время как ? больше, чем ?.)

Решив уравнение 2.2 для 1/D₁, мы получим:

Поскольку в рассматриваемом случае 1/D₀ больше, чем 1/f, 1/D₁, должно иметь отрицательное значение. Отсюда видно, что само по себе D₁ должно быть отрицательной величиной.

Это понятно. В предыдущих обсуждаемых случаях все расстояния измерялись вперед от зеркала. В данном же случае точка, в которой сходятся отраженные лучи и где формируется изображение, находится за зеркалом и соответственно величина должна быть отрицательной.

Уравнение 2.2 применимо не только к вогнутым зеркалам; оно имеет более общее применение.

Представим себе вновь плоское зеркало. Пучок параллельных лучей падает на него вдоль главной оси (за главную ось на плоском зеркале можно принять любую линию нормали) и отражается обратно вдоль нее таким же параллельным. Лучи не встречаются, и соответственно расстояние от зеркала до фокуса бесконечно. Но если f бесконечно, то 1/f должно быть равным нулю, и для плоского зеркала уравнение 2.2 принимает вид:

Если решить уравнение 2.4 для D₁, то выходит, что D₁ = –D₀. Так как D₀ (расстояние до отражаемого объекта) всегда должно быть положительно, поскольку для того, чтобы вообще отражаться, предмет должен всегда находиться перед зеркалом, D₁ должно быть отрицательным. Соответственно в случае плоского зеркала изображение всегда должно находиться за зеркалом и быть мнимым. Итак, если D₁, и D₀ не равны, то изображение должно находиться далеко за зеркалом, в то время как отражаемый объект находится перед зеркалом.

А что, если у нас выпуклое зеркало? То есть кривое зеркало, посеребренное с вогнутой стороны, так что мы, глядя в него, видим отражение с выпуклой стороны. Пучок параллельных лучей света падает на такое зеркало и отражается в стороны от главной оси (за исключением одного луча, который совпадает с ней). Опять же, если расходящиеся отраженные лучи продолжить (мысленно) сквозь зеркало, они сойдутся в фокусе.

Фокус выпуклого зеркала, лежащий за зеркалом, является мнимым фокусом, расстояние от него до зеркала отрицательно. Поэтому, говоря о выпуклом зеркале, мы должны говорить о –f и соответственно о –1/f. Для выпуклого зеркала уравнение 2.2 приобретает вид:

Поскольку отражаемый предмет должен быть всегда перед зеркалом, D₀ и соответственно 1/D₀ должны быть положительными. Следовательно, 1/D₁ — 1/f должно быть положительным, а чтобы это было так, 1/D₁ должно быть больше, чем 1/f. Но это уводит нас еще на шаг дальше и говорит о том, что само по себе D₁ должно быть меньше, чем f. Другими словами, очевидно, что расстояние до мнимого изображения, отраженного выпуклым зеркалом, должно быть меньше фокусного, как бы далеко от зеркала ни находился отраженный объект. По этой причине все объекты, отраженные в выпуклом зеркале, кажутся сжатыми в крошечное пространство, и маленькое выпуклое зеркало в углу большой переполненной комнаты может дать панорамный обзор всей комнаты (хотя и в несколько искаженном виде).

Реальные и мнимые изображения

Размеры изображения (S₁) зависят от размеров отражаемого объекта (S₀), так же как зависят друг от друга и расстояния, вне зависимости от того, простираются ли они вперед или назад по отношению к зеркалу. Иными словами,

На плоском зеркале, где расстояние от изображения до зеркала равно расстоянию от зеркала до отражаемого объекта, размеры объекта и изображения равны. Плоское зеркало не уменьшает и не увеличивает объект. В выпуклом зеркале, где все изображения должны быть ближе к зеркалу, чем фокус, как бы далеко ни были отображаемые объекты, все изображения маленькие. Чем дальше находится отражаемый объект, тем ближе и соответственно меньше изображение.

В вогнутом же зеркале, когда отражаемый объект лежит между фокусом и центром изгиба, изображение находится за центром изгиба. В таком случае, поскольку изображение находится дальше от зеркала, чем отражаемый объект, изображение крупнее, чем объект. Чем ближе объект находится к фокусу, тем крупнее получается изображение. Разумеется, чем изображение крупнее, тем оно тусклее, поскольку одно и то же количество света распространяется на все большую площадь.