Как строить изображение в сферическом зеркале
Перейти к содержимому

Как строить изображение в сферическом зеркале

  • автор:

Построение в сферическом зеркале

Follow us on Facebook Follow us on Instagram Follow us on LinkedIn Follow us on rss

Для уже введённого нами сферического зеркала существует два условно разных типа задач:

  • задачи на построение в сферическом зеркале
  • задачи на формулу для сферического зеркала

Первый тип задач основан на фактическом построении хода лучей от источника и поиска пересечения отражённых от зеркала лучей. Рассмотрим ряд изображений, полученных от точечного источника, который будем помещать на различных расстояниях от зеркала. Напомним, для сферического зеркала существует 3 просчитанных траектории хода луча (рис. 1).

Сферическое зеркало (общее)

Рис. 1. Сферическое зеркало (общее)

  1. синий. Луч, проходящий через фокус, отражаясь от зеркала, проходит параллельно главной оптической оси (свойство фокуса),
  2. зелёный. Луч, падающий на главный оптический центр сферического зеркала, отражается под тем же углом (законы отражения),
  3. красный. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после отражения проходит через фокус (свойство фокуса).

И помним о том, что точка пересечения двух любых отражённых лучей является изображением предмета ().

Введём обозначения: пусть — фокусное расстояние (расстояние от оптического центра зеркала до фокуса), — расстояние от предмета до зеркала, — расстояние от изображения до зеркала. Проанализируем ход лучей при различных положениях источника:

  • (источник находится очень далеко от сферического зеркала). В этом случае, мы можем считать, что все лучи от источника идут параллельно друг другу (рис. 2). Пустим два луча параллельно главной оптической оси.

Сферическое зеркало (источник в бесконечности)

Рис. 2. Сферическое зеркало (источник в бесконечности)

Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после отражения проходят через фокус, то точка фокуса и является точкой пересечения отражённый лучей, тогда она же и есть изображение источника (точечное, действительное).

  • (источник находится за двойным фокусным расстоянием) (рис. 3).

Сферическое зеркало (предмет за двойным фокусом)

Рис. 3. Сферическое зеркало (предмет за двойным фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через фокус (отражается параллельно главной оптической оси). Для визуализации изображения введём описание предмета через стрелку. Точка пересечения отразившихся лучей — изображение (уменьшенное, действительное, перевёрнутое). Положение — между фокусом и двойным фокусом.

  • (источник находится ровно в двойном фокусе) (рис. 4).

Сферическое зеркало (предмет в двойном фокусе)

Рис. 4. Сферическое зеркало (предмет в двойном фокусе)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через фокус (отражается параллельно главной оптической оси). Точка пересечения отразившихся лучей — изображение (того же размера, действительное, перевёрнутое). Положение — ровно в двойном фокусе.

  • (источник между фокусом и двойным фокусом) (рис. 5).

Сферическое зеркало (предмет между фокусом и двойным фокусом)

Рис. 5. Сферическое зеркало (предмет между фокусом и двойным фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через фокус (отражается параллельно главной оптической оси). Точка пересечения отразившихся лучей — изображение (увеличенное, действительное, перевёрнутое). Положение — за двойным фокусом.

  • (источник находится ровно в фокусе сферического зеркала) (рис. 6).

Сферическое зеркало (предмет в фокусе)

Рис. 6. Сферическое зеркало (предмет в фокусе)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и падающего в главный оптический центр зеркала (отражается под углом падения). В этом случае, оба отражённых луча оказались параллельными друг другу, т.е. точка пересечения отражённых лучей отсутствует. Это говорит о том, что изображения нет.

  • (источник находится между фокусом и главным оптическим центром) (рис. 7).

Сферическое зеркало (предмет перед фокусом)

Рис. 7. Сферическое зеркало (предмет перед фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и падающего в главный оптический центр зеркала (отражается под углом падения). Однако отражённые лучи расходятся, т.е. сами отражённые лучи не пересекутся, зато могут пересечься продолжения лучей. Точка пересечения продолжений отразившихся лучей — изображение (увеличенное, мнимое, прямое). Положение — за зеркалом.

Таким образом, часть фраз, присутствующих в задаче и характеризующих изображение (его величину, мнимость/действительность, расположение и т.д.), может намекать на конкретный рисунок и облегчать построение и решение самой задачи. Достаточно часто численные данные в таких задачах берутся из рисунков, на которых расстояния заданы в виде пропорций (рисунок по клеточкам).

Второй тип задач — задачи с числовыми значениями расстояний , — и . Для сферического зеркала выводится соотношение:

  • где
    • — фокусное расстояние,
    • — расстояние от предмета до зеркала,
    • — расстояние от изображения до зеркала.

    Такого типа задачи решаются геометрически и самой формулой (1).

    Вывод: задачи со сферическими зеркалами, в целом, разделяются на два огромных класса: задачи на построение (логика вышеописанных рисунков) и задачи на формулу для сферического зеркала, которые можно определить по наличию численных значений для параметров, входящих в уравнение (1).

    § 18. Вогнутые и выпуклые сферические зеркала. Построение изображений

    Каждое утро, умываясь, вы смотрите в плоское зеркало и видите свое четкое отражение в нем. Но поверхность зеркала может быть не только плоской, но и искривленной. Параллельные лучи света, отражаясь от искривленной поверхности, не останутся параллельными. Но отражаются они упорядоченно и могут как сходиться, так и расходиться (рис. 111).

    Самый простой пример искривленной отражающей поверхности – сферическая поверхность. Зеркало с такой поверхностью называют сферическим.

    Различают два типа сферических зеркал: вогнутые, если зеркальной является внутренняя поверхность сферы (рис. 112, а), и выпуклые, если — внешняя (рис. 112, б).

    Основные характеристики сферических зеркал.

    Рассмотрим основные характеристики сферических зеркал на примере вогнутого зеркала (рис. 113). Центр сферы O называется оптическим центром зеркала, его радиус Rрадиусом зеркала. Вершина шарового сегмента P называется полюсом зеркала. Прямая линия OP, проходящая через оптический центр и полюс зеркала, называется главной оптической осью. Любая прямая, например прямая OM, проходящая через оптический центр O и поверхность зеркала (за исключением его главной оптической оси), называется побочной оптической осью.

    Так как поверхность зеркала сферическая, то из ее геометрических свойств следует, что любая оптическая ось перпендикулярна поверхности зеркала. Поэтому луч, идущий по направлению к зеркалу по какой-либо из оптических осей, отразившись от зеркала, пойдет по той же самой оптической оси, но уже в обратном направлении.

    В отличие от плоских зеркал, в которых изображение точечного источника всегда является точечным, в сферических зеркалах такое свойство выполняется только в случае, когда пучок падающих на зеркало лучей можно считать параксиальным (приосевым) (от греч. παρα — возле и лат. axis — ось). Это означает, что он состоит из лучей, образующих малые углы с оптической осью и находящихся на небольших расстояниях h по сравнению с радиусом кривизны R зеркала (hR).

    В плоских зеркалах изображение точечного источника всегда является точечным. Сферические зеркала дают неискаженные изображения только в том случае, если предмет достаточно мал и лучи распространяются вблизи главной оптической оси.

    Если направить пучок лучей, параллельных главной оптической оси сферического зеркала, то все они пересекут главную оптическую ось в одной и той же точке (см. рис. 113, б). Рассмотрим луч KM, параллельный главной оптической оси OP (см. рис. 113, б). OM— нормаль к поверхности зеркала. Следовательно KMO=α, угол является углом падения. По закону отражения света луч, падающий на сферическое зеркало, и луч отраженный составляют с радиусом зеркала одинаковые углы α и лежат с ним в одной плоскости KMO = OMF. После отражения от зеркала луч пройдет через точку F на главной оптической оси (рис. 114, а). Так как треугольник ΔOMF равнобедренный, то OF=MF. Если расстояние hR, то FPMF. Следовательно, FPFFO=R/2.

    Если направить пучок лучей параллельно главной оптической оси вогнутого сферического зеркала, то все они пересекут главную оптическую ось в одной и той же точке на расстоянии F=R/2 (рис. 113, 114, а). Аналогичные построения можно сделать и для выпуклого зеркала (рис. 114, б).
    Только в отличие от вогнутого зеркала пересекаться в фокусе будут не лучи, а их продолжения. Эта точка находится на главной оптической оси на расстоянии от полюса зеркала — в мнимом фокусе.

    Точка F (см. рис. 113, 114) называется главным фокусом зеркала. Расстояние PF = F от вершины зеркала до фокуса называется фокусным расстоянием. Фокусное расстояние зеркала равно половине радиуса его кривизны. Плоскость, проходящая через главный фокус F линзы перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной.
    Из свойства обратимости оптических лучей следует, что луч, идущий от источника и проходящий через фокус F, после отражения пойдет параллельно главной оптической оси.
    При падении пучка параллельных лучей под углом к главной оптической оси лучи после отражения пересекут побочную оптическую ось в точке называемой побочным фокусом F′ (рис. 115).

    Построение изображений в сферических зеркалах

    Для построения изображения любой точки в сферическом зеркале достаточно построить ход двух любых лучей в зеркале и найти их точку пересечения. Естественно, что для этого следует выбрать лучи, построить ход которых в зеркале проще всего.
    Как правило, для построений выбирают один из четырех стандартных (характерных) лучей (рис. 116):

    • луч (1) — через центр зеркала — отраженный луч пойдет по тому же направлению в обратную сторону;
    • луч (2) — параллельный главной оптической оси — отраженный луч проходит через главный фокус;
    • луч (3) — через главный фокус — отраженный луч проходит параллельно главной оптической оси;
    • луч (4) — падающий на зеркало в его полюсе — отраженный луч идет симметрично главной оптической оси.

    Характеристики изображений

    Если предмет AB (см. рис. 116, 117) перпендикулярен главной оптической оси в вогнутом сферическом зеркале, то его изображение будет также перпендикулярно этой оси. Поэтому достаточно построить изображение только точки B. Из свойств обратимости светового луча следует, что предмет AB и его изображение A1B1 можно поменять местами. Если предмет находится за оптическим центром зеркала, то изображение предмета — действительное, обратное и уменьшенное — находится между главным фокусом и центром зеркала (рис. 117).
    Если предмет находится между фокусом и оптическим центром зеркала (см. рис. 117), то изображение A1B1 предмета — действительное, обратное и увеличенное — находится за центром зеркала.

    Если предмет находится между полюсом зеркала и его фокусом, то изображение A1B1 предмета — мнимое, прямое и увеличенное — находится за зеркалом (рис. 118, а).
    Построим изображение предмета AB в выпуклом зеркале (рис. 118, б).
    Изображение в таком зеркале всегда получается прямым, мнимым, уменьшенным.
    Все возможные изображения предметов в сферических зеркалах построены на рисунке 119.
    Поскольку вогнутые зеркала фокусируют любое электромагнитное излучение, то они находят широкое применение в радиолокации, радиосвязи, радиоастрономии, в телевидении. В частности, вогнутые зеркала применяют в телескопах — приборах для наблюдения звезд, галактик.

    Чертеж первого прожектора был составлен Леонардо да Винчи в Атлантическом кодексе.

    Первый прожектор был построен в 1779 г. русским механиком И.П. Кулибиным.

    В настоящее время широко применяются светодиодные прожекторы (рис. 120). Они имеют рекордно низкое потребление электроэнергии, большой ресурс работ, небольшой вес, большую компактность и могут работать в широком температурном диапазоне

    Первый зеркальный телескоп-рефлектор был построен в 1668 г. И. Ньютоном (рис. 121).

    Современные телескопы-рефлекторы имеют зеркала большого диаметра. Так диаметр главного зеркала телескопа Маунт-Паломарской обсерватории в США — 5 м, а диаметр телескопа специальной обсерватории на Северном Кавказе в России — 6 м.

    Вопросы к параграфу

    1. Дайте определение сферических зеркал и их классификацию.
    2. Дайте определения основных элементов сферических зеркал.
    3. Что называется главным фокусом зеркала? Фокальной плоскостью?
    4. Какие лучи используются для построения в сферических зеркалах?
    5. Что такое побочная оптическая ось и побочный фокус?
    6. Какие изображения получаются в сферических зеркалах: а) вогнутых; б) выпуклых?

    Пример решения задачи

    С помощью сферического зеркала получено изображение A1B1 предмета AB (рис. 122). Определите построением положение и фокус зеркала. Установите также тип зеркала (вогнутое или выпук­лое). Известно, что ВВ1 — оптическая ось зеркала.

    Решение

    Как видно из рисунка 123, изображение A1B1 предмета AB является обратным и действительным. Следовательно, зеркало является вогнутым, поскольку только вогнутое зеркало дает действительное изображение. Соединим прямой линией точки A и А1. Точка O пересечения прямых и является центром кривизны сферического зеркала. Отразим точку A симметрично относительно оси в точку C. Проведем прямую СА1 до пересечения с прямой ВВ1. Точка Р пересечения будет полюсом вогнутого сферического зеркала. Разделив отрезок OP пополам, найдем положение фокуса F вогнутого зеркала.

    Ответ: зеркало является вогнутым.

    Упражнение 14

    1. Постройте изображения предметов в вогнутых сферических зеркалах (рис. 124).

    2. Постройте изображения предметов в выпуклых сферических зеркалах (рис. 125).

    3. Постройте ход лучей в вогнутых сферических зеркалах (рис. 126).

    4. Постройте ход лучей в выпуклых сферических зеркалах (рис. 127).

    5. Постройте изображение точечного источника света, находящегося в точке S (рис. 128).

    Построение изображений в сферическом зеркале.

    Для построе­ ния изображения точки в сферическом зеркале следует выбрать любые два луча из трех стандартных:

    • луч, проходящий через оптический центр зеркала (центр сферы), называемый побочной птической осью; после отражения от зеркала он опять проходит через центр;
    • луч, падающий на зеркало параллельно оптической оси; после отражения проходит через фокус зеркала;
    • луч, проходящий через фокус зеркала, после отражения идет параллельно оптической оси.

    Если мы строим изображение предмета, то надо, вообще го­ воря, строить изображения всех его точек. Однако в некоторых случаях, в частности, когда предмет — прямая линия, можно строить изображения двух его точек. При этом не надо забывать, что мы пользуемся только параксиальными пучками, ширина кото­ рых h < g . R — радиуса кривизны зеркала.

    Воспользовавшись этими правилами, построим изображения в некоторых частных случаях.

    А’B’ — изображение AB

    Как видно, в выпуклом зеркале изображение мнимое, прямое и уменьшенное при любом положении предмета.

    A’B’ — мнимое, прямое, уменьшенное

    А’B’ — изображение AB

    Мнимое, прямое, но увеличенное изображение возникает и в вогнутом зеркале, если предмет расположен между фокусом и зеркалом.

    A’B’ — мнимое, прямое, увеличенное

    A’B’ — действительное, обратное, уменьшенное

    Если же предмет расположен дальше центра вогнутого сферического зеркала то образуется перевернутое, уменьшенное, действительное изображение между фокусом и цент ром. В самом деле, расходящийся световой пучок, исходящий из точки А (как и из любой другой точки), после отражения в зеркале собирается в точке А’.

    Здесь концентрируется энергия, что можно обнаружить, поместив в это место фотопластинку или фотопленку, на которой получится отпечаток.

    Решение задач

    Предмет расположен на расстоянии1 м от вогнутого зеркала с радиусом кривизны 20 см. Где находится изображение? Какое оно?

    Как строить изображение в сферическом зеркале

    Физика

    Электродинамика

    Магнитное поле

    Механические колебания

    Электромагнитные колебания

    Механические волны

    Электромагнитные волны

    Оптика

    Геометрическая оптика

    Задачи на сферическое зеркало

    Линза

    Волновая оптика

    Основы теории относительности

    Основы квантовой физики

    Излучения и спектры

    Световые кванты

    Атомная физика

    Ядерная физика

    Физика элементарных частиц

    Открытие позитрона. Античастицы

    Современная физическая картина мира

    Современная физическая картина мира

    Строение Вселенной

    Строение Вселенной

    Звёзды и источники их энергии. Современные представления о происхождении и эволюции Солнца и звёзд

    Наша галактика и другие галактики

    Пространственные масштабы наблюдаемой Вселенной

    Применимость законов физики для объяснения природы космических объектов

    «Красное смещение» в спектрах галактик

    Современные взгляды на строение и эволюцию Вселенной

    Наблюдение солнечных пятен, звёздных скоплений, туманностей и галактик

    Медиаматериалы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *