В чем состоит физический смысл потенциала

2. Потенциал электростатического поля

Найдем работу, совершаемую силой электростатического поля, созданного точечным зарядомq, по перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2. Положение этих точек относительно зарядаq определяется радиус-векторами , а положение заряда– радиус-вектором(рис.6).

На основании формул (5) и (4) в любой точке траектории на заряд q_пр действует сила

, (6)

где – напряженность поля зарядаq в месте нахождения заряда .

Работа этой силы при элементарном перемещении заряда

, (7)

где , а работа по перемещению зарядаиз точки 1 в точку 2

. (8)

Из формулы (8) вытекает, что работа силы по перемещению заряда из одной точки электростатического поля в другую не зависит от формы пути, а зависит от координат начального и конечного положений заряда. Следовательно,электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными.

Рис. 6. Перемещение пробного заряда в электростатическом

поле заряда qиз точки 1 в точку 2

К такому же выводу мы придем, если будем рассматривать электростатическое поле, созданное не одним зарядом, а системой зарядов.

Из закона сохранения энергии следует, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле совершается за счет уменьшения потенциальной энергииэтого заряда в поле:

. (9)

Зная величину в разных точках поля, по формуле (9) удобно определять работу, которую совершат силы поля по перемещению зарядаиз одной точки в другую. Следовательно, для электростатического поля можно ввести понятие энергетической характеристики аналогично тому, как была введена его силовая характеристика – напряженность. Для этого используют отношение, которое уже не зависит от, а определяется только зарядом, создающим поле, и положением точки. Это отношение называетсяпотенциалом:

. (10)

Потенциал j электростатического поля есть физическая величина, численно равная потенциальной энергии, которой обладает точечный единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля..

Единицей потенциала является вольт (В):

На основании (9) и (10) можно записать формулу для работы, совершаемой силами электростатического поля по перемещению точечного заряда q из точки поля с потенциалом j₁ в точку с потенциалом j₂:

. (11)

Из выражения (11) вытекает физический смысл разности потенциалов:

разность потенциаловмежду двумя точками электростатического поля численно равна работе, которую совершают силы поля по перемещению точечного единичного положительного заряда из одной точки в другую.

На основании (5), (8) и (11) можно записать

или, (12)

где a – угол между вектором и вектором .

Формула (12) устанавливает связь разности потенциалов между двумя точками электростатического поля с напряженностью этого поля. Соотношение (12) справедливо не только для конечных перемещений, но и для бесконечно малых . Если точки 1 и 2 расположены бесконечно близко друг к другу, то убыль потенциала будет равна его дифференциалу со знаком минус, а в правой части (12) останется лишь подынтегральное выражение

. (13)

Потенциал, как и потенциальная энергия, определяется с точностью до произвольной постоянной С. В теории эту постоянную выбирают так, чтобы потенциал точки был равен нулю при бесконечном удалении ее от заряда, создающего поле . Это означает, что.

. (14)

Выражение (14) позволяет дать еще одно определение потенциала, чаще используемое при решении задач: потенциал электростатического поля численно равен работе, которую совершает поле над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность.

Эквипотенциальной называется поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. С помощью этих поверхностей можно графически изображать электростатические поля.

Выясним, как ориентированы эквипотенциальные поверхности по отношению к линиям напряженности, с помощью которых также графически изображаются электростатические поля. Для этого воспользуемся связью (13) разности потенциалов между двумя точками одной эквипотенциальной поверхности, находящимися на расстояниидруг от друга, с напряженностьюв этом месте:

Равенство будет выполняться только в том случае, если уголa между вектором и эквипотенциальной поверхностью будет прямым. Следовательно,вектор всегда перпендикулярен к эквипотенциальным поверхностям и линии напря-женности всегда перпендикулярны к ним. Именно так проведены эквипотенциальные поверхности электростатического поля точечно-го заряда (рис. 7).

Обычно эквипотенциальные поверхности проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми соседними поверхностями были одинаковыми. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности в разных точках: там, где эти поверхности гуще, напряженность больше (рис. 7).

Потенциал

Математика

Потенциа́л (от лат. potentia – сила) в математике, понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей ( гравитационное , электрическое и др.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей в жидкости и др.). В электростатическом поле потенциал вводится как вспомогательная функция , пространственные производные которой – компоненты напряжённости электрического поля в данной точке, в гидродинамике – компоненты скорости жидкости в данной точке и т. п. При этом потенциал в ряде случаев имеет и важный физический смысл. Так, в электростатическом поле он численно равен (с обратным знаком) работе , необходимой для удаления единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность.

В общем случае потенциал векторного поля a ( x , y , z ) a(x, y, z) a ( x , y , z ) – скалярная функция u ( x , y , z ) u(x, y, z) u ( x , y , z ) такая, что a = grad u a=\text\, u a = grad u , т. е. a x = ∂ u ∂ x a_x=\frac<\partial u> <\partial x>a x = ∂ x ∂ u , a y = ∂ u ∂ y a_y=\frac<\partial u> <\partial y>a y = ∂ y ∂ u , a z = ∂ u ∂ z a_z=\frac<\partial u> <\partial z>a z = ∂ z ∂ u , где a x a_x a x , a y a_y a y , a z a_z a z – компоненты поля a a a в прямоугольной системе координат O x y z Oxyz O x yz . Если такая функция существует, то векторное поле a a a называется потенциальным . Иногда потенциалом называют функцию U = – u U=–u U = – u (например, в электростатике). Потенциал векторного поля a a a определяется не однозначно, а с точностью до постоянного слагаемого. Поэтому при изучении потенциального поля представляют интерес лишь разности потенциалов в различных точках поля. Уравнение u ( x , y , z ) = c u(x, y, z)=c u ( x , y , z ) = c геометрически представляет поверхность , во всех точках которой потенциал имеет одну и ту же величину; такие поверхности называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями .

Для поля тяготения, образованного помещённой в точку A ( ξ , η , ζ ) A(ξ, η, ζ) A ( ξ , η , ζ ) точечной массой m m m , потенциал (ньютонов потенциал) имеет в точке P ( x , y , z ) P(x,y,z) P ( x , y , z ) вид

u ( x , y , z ) = G m / r , u(x,y,z)=Gm/r, u ( x , y , z ) = G m / r , где

r = ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 + ( z − ζ ) 2 , r=\sqrt , r = ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 + ( z − ζ ) 2

, G G G – гравитационная постоянная. При наложении полей их потенциалы алгебраически складываются. Если поле тяготения порождается некоторой массой, имеющей плотность ρ ( ξ , η , ζ ) ρ(ξ, η, ζ) ρ ( ξ , η , ζ ) и занимающей объём V V V , то его потенциал можно рассматривать как наложение элементарных полей, образованных бесконечно малыми телами массы ρ d ξ d η d ζ ρdξ\,dη\,dζ ρ d ξ d η d ζ . Ньютонов потенциал такого поля представляется интегралом

u ( x , y , z ) = G ∭ V ρ v ρ d ξ d η d ζ . (*) u(x,y,z)=G\iiint_V\frac ρdξdηdζ.\tag u ( x , y , z ) = G ∭ V v ρ ρ d ξ d η d ζ . ( * ) Потенциал u ( x , y , z ) u(x, y, z) u ( x , y , z ) – непрерывная функция во всём пространстве вместе со своими частными производными 1-го порядка; вне тела объёма V V V функция u ( x , y , z ) u(x, y, z) u ( x , y , z ) удовлетворяет уравнению Лапласа , внутри – уравнению Пуассона .

Если притягивающие массы распределены с плотностью ρ S ρ_S ρ S по поверхности S S S (простой слой), то потенциал образованного ими поля выражается интегралом

v ( x , y , z ) = G ∫ S ρ S r d s . v(x,y,z)=G\int_S\fracds. v ( x , y , z ) = G ∫ S r ρ S d s . Потенциал простого слоя v ( x , y , z ) v(x, y, z) v ( x , y , z ) – функция, непрерывная во всём пространстве; при пересечении поверхности S S S нормальная производная функции v ( x , y , z ) v(x, y, z) v ( x , y , z ) имеет разрыв, равный 4 π G / ρ S 4πG/ρ_S 4 π G / ρ S . Неограниченно сближая две поверхности, на которых расположены простые слои с плотностями ρ S ρ_S ρ S и − ρ S -ρ_S − ρ S , и одновременно увеличивая ρ S ρ_S ρ S до бесконечности, но так, чтобы был конечен предел lim ⁡ n ρ S = μ \lim nρ_S=μ lim n ρ S = μ , где n n n – нормальное расстояние между поверхностями, приходят к понятию потенциала двойного слоя:

w ( x , y , z ) = G ∫ S μ ∂ ∂ n 1 r d s . w(x,y,z)=G\int_S \mu\frac<\partial><\partial n>\frac\,ds. w ( x , y , z ) = G ∫ S μ ∂ n ∂ r 1 d s . Потенциал двойного слоя w ( x , y , z ) w(x, y, z) w ( x , y , z ) – непрерывная функция во всём пространстве вне S S S ; при пересечении поверхности S S S функция w ( x , y , z ) w(x, y, z) w ( x , y , z ) имеет разрыв, равный 4 π G μ 4πGμ 4 π G μ .

Функции v ( x , y , z ) v(x, y, z) v ( x , y , z ) и w ( x , y , z ) w(x, y, z) w ( x , y , z ) удовлетворяют уравнению Лапласа. В виде суммы потенциалов простого и двойного слоёв может быть представлена любая гармоническая функция .

Если тело V V V – бесконечный цилиндр с поперечным сечением D D D и плотность ρ ρ ρ вещества цилиндра постоянна вдоль каждой прямой, параллельной образующим цилиндра, то формула (*) приводит к понятию логарифмического потенциала:

u ( x , y ) = G ∫ D ρ ln ⁡ ( 1 / ρ ) d s . u(x,y)=G\int_D \rho \ln(1/\rho)ds. u ( x , y ) = G ∫ D ρ ln ( 1/ ρ ) d s . В ряде математических задач используется понятие векторного потенциала, см. Векторное исчисление .

Идея потенциала принадлежит Ж. Лагранжу (1775) и П. Лапласу (1782). Теория потенциала создана независимо Дж. Грином (1828) и К. Гауссом (1840).

Битюцков Вадим Иванович . Первая публикация: Большая российская энциклопедия, 2015.

Опубликовано 6 сентября 2022 г. в 14:17 (GMT+3). Последнее обновление 6 сентября 2022 г. в 14:17 (GMT+3). Связаться с редакцией

Физический смысл потенциала и разности потенциалов

физический смысл имеет только разность потенциалов (или напряжение) между двумя какими-либо точками в электрическом поле, так как работа по переносу заряда в поле определена только тогда, когда заданы и начало и конец этого пути переноса. Поэтому, когда мы говорим об электрическом напряжении, то всегда имеем в виду две точки, между которыми существует это напряжение. Когда по некоторой небрежности речи говорят о напряжении или потенциале в одной какой-либо точке, то всегда подразумевают разность потенциалов между этой точкой и какой-то другой, выбранной заранее.

Остальные ответы

разность потенциалов — это НАПРЯЖЕНИЕ (измеряется в Вольтах) , необходимое условие создание тока.
потенциал (насколько помню) это прямая зависимость от заряда тела — тоисть чем более заряжено тело (заряд измеряется в Кулонах) , тем больший у него потенциал.

Физический смысл потенциала поля в данной точке заключается в работе поля по перемещению единичного объекта из данной точки в точку поля, в которой сила, действующая на объект со стороны поля равна нулю (чаще всего в бесконечности) .
Физический смысл разности потенциалов между двумя точками поля определяется работой поля по перемещению единичного объекта из некоторой первой точки во вторую. Не путать РАЗНОСТЬ потенциалов с ИЗМЕНЕНИЕМ потенциалов.

GELAYU USPEXOV .
Vladimir Shchookin.

В чем состоит физический смысл потенциала

2. Потенциал электростатического поля

Потенциал

Физический смысл потенциала и разности потенциалов

В чем состоит физический смысл потенциала

Добавить комментарий Отменить ответ