От чего зависит емкость проводника

От чего зависит емкость проводника

Рассмотрим уединенный проводник, т. е. проводник, находящийся в однородной изотропной среде вдали от других проводников и заряженных тел. При сообщении такому проводнику избыточного заряда q последний распределяется по поверхности проводника с поверхностной плотностью , которая зависит от размеров и формы проводника.

Выделим на поверхности проводника малый элемент площади dS, полагая, что заряд этого элемента является точечным. В другой точке поверхности этого же проводника, отстоящей от элемента dS на расстояние r, этот заряд создает электрическое поле, потенциал которого равен

,где — относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится проводник. Интегрируя это выражение по всей поверхности проводника S, найдем потенциал, создаваемый в рассматриваемой точке всем проводником:

Так как в различных точках на поверхности проводника поверхностная плотность заряда имеет разные значения, то будем полагать, что , где k — некоторая функция координат выбранного элемента поверхности dS. Тогда выражение для потенциала проводника имеет вид

. (3.1)

В полученном выражении интеграл зависит от размеров и формы поверхности проводника, а также от расположения точки, для которой определяется потенциал.

Значения этого интеграла не зависят от величины заряда, сообщенного проводнику, т. е. одинаковы при различных значениях заряда q.

Из формулы (3.1) следует, что потенциал уединенного проводника прямо пропорционален его заряду и отношение заряда q к потенциалу для данного проводника есть величина постоянная. Это отношение называется электрической емкостью, или электроемкостью, проводника:

Электрическая емкость уединенного проводника зависит от его формы и размеров, а также от величины относительной диэлектрической проницаемости среды, в которой он находится. Электроемкость не зависит от материала проводника, его агрегатного состояния, от формы и размеров возможных полостей внутри проводника. Электроемкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.

В качестве примера найдем электроемкость уединенного проводящего шара радиуса R, покрытого слоем диэлектрика с относительной проницаемостью и толщиной d. Пусть шар имеет заряд q. Тогда напряженность поля, создаваемого шаром внутри диэлектрического слоя,

За пределами слоя напряженность поля определяется выражением:

Потенциал поверхности шара:

Таким образом, электроемкость шара, покрытого слоем диэлектрика, есть

В случае, если толщина диэлектрического слоя , емкость шара равна . При d=0 она равна .

Из приведенных соотношений следует, что потенциалы одинаково заряженных и геометрически подобных проводников должны быть обратно пропорциональны их линейным размерам, а их электрические емкости прямо пропорциональны этим размерам.

Электроемкость проводника численно равна заряду, который нужно сообщить этому проводнику для изменения его потенциала на единицу. В СИ единица измерения электрической емкости 1 фарада (Ф). Это емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл: 1 Ф = 1 Кл / 1 В.

Если вблизи проводника есть другие проводящие незаряженные тела, то при сообщении проводнику некоторого электрического заряда его потенциал будет меньше, чем потенциал уединенного проводника таких же формы и размеров. Это обусловлено тем, что на поверхностях тел, обращенных к заряженному проводнику, будут индуцироваться электрические заряды противоположного знака.

Для наглядности поясним это явление на примере. Пусть на некотором расстоянии от проводящего шара радиуса R расположен незаряженный металлический стержень длиной l так, что его ближний конец находится на расстоянии r от центра шара, а дальний — на расстоянии (r + l). Если шару сообщить положительный электрический заряд Q, то создаваемое шаром поле будет индуцировать на ближнем конце стержня заряд -q, а на дальнем заряд +q. Потенциал шара при этом будет равен

Следовательно, электроемкость проводника возрастает, если недалеко от него находятся другие проводящие тела. В этом случае принято говорить о взаимной электроемкости проводников.

Наибольший интерес представляет взаимная электроемкость системы из двух проводников с равными по величине и противоположными по знаку электрическими зарядами: |+q| = |- q| = q. Их взаимная электрическая емкость определяется как отношение заряда к разности потенциалов ,где разность потенциалов между проводниками.

1) От чего зависит электроемкость проводника
2) Изобразите качественно изменения Е и в плоском, цилиндрическом и сферическом конденсаторах с изменением расстояния от центра симметрии указанных систем
3) Как изменяется емкость проводника, если недалеко от него находятся другие проводящие тела.

Физика. 10 класс

§ 22-3. Электрическая ёмкость. Электрическая ёмкость уединённого проводника

Проводники и системы, состоящие из нескольких проводников, обладают свойством накапливать электрический заряд. Какая физическая величина характеризует это свойство?

Электрическая ёмкость. Для характеристики свойства проводника накапливать электрический заряд ввели физическую величину — электрическую ёмкость С. Для объяснения физического смысла этой величины рассмотрим следующий опыт: присоединим тонким длинным проводником к стержню электрометра с заземлённым корпусом уединённый полый металлический шар.

Проводник считают уединённым, если он расположен вдали от возможных источников электрического поля как проводящих, так и непроводящих тел. Если вблизи заряженного проводника находятся другие тела, то вследствие явления электростатической индукции в проводниках происходит перераспределение свободных электрических зарядов — возникают индуцированные заряды, а в диэлектриках — смещение в противоположные стороны разноимённых зарядов, входящих в состав атомов вещества, приводящее к возникновению поляризационных зарядов. Поляризационные заряды, возникающие в диэлектриках, и заряды, индуцируемые на проводниках, создают дополнительное электростатическое поле, изменяющее потенциал заряженного проводника.

Касаясь наэлектризованным проводящим шариком, закреплённым на изолирующей ручке, внутренней поверхности полого металлического шара, будем последовательно сообщать ему одинаковые положительные электрические заряды, увеличивая его суммарный заряд в 2, 3 и т. д. раз ( рис. 118.12 ). Чем больше сообщённый шару электрический заряд, тем больше его потенциал, так как , где R — радиус шара. Значит, во сколько раз увеличился заряд шара, во столько же раз увеличился и его потенциал, т. е. отношение электрического заряда к потенциалу остаётся величиной постоянной для данного уединённого шара: .

Прямая пропорциональная зависимость между потенциалом и электрическим зарядом справедлива не только для уединённых шарообразных проводников, но и для любого уединённого проводника произвольной формы. Необходимо только, чтобы форма и размеры проводника, а также диэлектрические свойства среды, в которой он находится, оставались неизменными.

Электрическая ёмкость уединённого проводника — физическая скалярная величина, количественно характеризующая способность проводника накапливать электрический заряд и равная отношению заряда проводника к его потенциалу:

Отметим, что электрическая ёмкость является характеристикой уединённого проводника и не зависит ни от наличия избыточного заряда, ни от его потенциала. Поскольку заряды располагаются только на внешней поверхности проводника, то ни от вещества, из которого он изготовлен, ни от его массы электроёмкость проводника также не зависит. Она зависит только от формы и размеров проводника, а также от диэлектрической проницаемости среды, в которой этот уединённый проводник находится. Например, электроёмкость уединённого проводящего шара радиусом R, находящегося в безграничной однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, определяют по формуле

Единицей электрической ёмкости в СИ является фарад (Ф).

1 Ф — очень большая электроёмкость. Электроёмкостью С = 1 Ф обладал бы находящийся в вакууме уединённый шар радиусом R = 9 ∙ 10 9 м (для сравнения: радиус земного шара R_З = 6,4 ∙ 10 6 м ). Поэтому на практике применяют дольные единицы: микрофарад ( 1 мкФ = 1 ∙ 10 –6 Ф ), нанофарад ( 1 нФ = 1 ∙ 10 –9 Ф ) и пикофарад ( 1 пФ = 1 ∙ 10 –12 Ф ).

Например, электроёмкость такого огромного проводника, как земной шар, равна С = 0,71 мФ , а электроёмкость человеческого тела примерно С = 50 пФ .

Из истории физики

В XVII-XVIII в. учёные рассматривали электричество как нематериальную жидкость. Эта жидкость могла вливаться в проводник и выливаться из него. Так появился термин «электрическая ёмкость».

1. Какой проводник можно считать уединённым?

2. Что называют электрической ёмкостью уединённого проводника?

3. От чего зависит электроёмкость уединённого проводника?

4. Обладает ли электроёмкостью незаряженный проводник?

5. Можно ли, проанализировав формулу для расчёта электроёмкости уединённого проводника, утверждать, что его электроёмкость зависит от заряда и потенциала проводника?

6. Два проводящих заряженных шара приводят в соприкосновение. Как распределятся заряды на шарах, если один из них алюминиевый, а другой стальной и радиусы шаров одинаковые?

* Это выражение можно получить в результате математических преобразований двух формул: для нахождения электроёмкости и потенциала заряженного шара . ↑

От чего зависит емкость проводника

Наличие единого (в электростатике!) потенциала во всём проводнике — одно из важнейших его свойств, и именно оно позволяет строго ввести определение электрической ёмкости уединённого проводника по формуле

где `Q` — заряд на проводнике, `varphi` — его потенциал, и ёмкость конденсатора (пары проводников) – по формуле

где `varphi_1` и `varphi_2` — потенциалы отдельных проводников с зарядами `Q` и `-Q`. Не будь этого свойства, было бы непонятно, что именно понимать под `varphi`, `varphi_1` и `varphi_2`. Почему мы, например, не спрашиваем себя, какова ёмкость двух деревяшек? Да потому, что мы не можем говорить о едином потенциале даже одной деревяшки (в разных точках её потенциал будет, вообще говоря, разным).

Электроёмкость измеряется в фарадах: `1` фарад `=1` Ф `=1` Кл/`1`В.

В определение ёмкости конденсатора, т. е. пары проводников, входит один заряд. Дело в том, что наибольший практический интерес представляет случай, когда заряды проводников одинаковы по модулю и противоположны по знаку: `Q_1=-Q_2=Q`.

Хотя в определение электроёмкости входят заряд и потенциал `C=Q//varphi` (или разность потенциалов — для конденсатора `C=Q//(varphi_1-varphi_2)`) фактически ни от заряда, ни от потенциала (разности потенциалов) ёмкость не зависит, а определяется только геометрией проводника (да ещё диэлектрической проницаемостью среды, см. раздел, посвящённый диэлектрикам). Например, ёмкость уединённого проводящего шара радиуса `R` в вакууме равна

`C_»шара»=4pi epsilon_0R` (2.2.3)

(последняя формула получается непосредственно из формулы для потенциала уединённого шара `varphi=Q/(4pi epsilon_0)`), а ёмкость плоского конденсатора (Пример 24)

Последнее связано с тем, что потенциал уединённого проводника всегда пропорционален его заряду (а в конденсаторе разность потенциалов пропорциональна заряду); ёмкость же есть как раз коэффициент пропорциональности `Q=Cvarphi` (или `Q=C(varphi_1-varphi_2)`).

Нетрудно вычислить (воспользовавшись результатом Примера 18) ёмкость сферического конденсатора

`C=4pi epsilon_0(R_1R_2)/(R_2-R_1)`, (2.2.5)

где `R_1` и `R_2` — радиусы внутренней и внешней сфер.

Определить ёмкость шара размером с Землю. Радиус Земли `R=6370` км. Каким должен быть радиус металлического шара, чтобы его электроёмкость была равна `1` фараду?

По формуле (2.2.3) `C=4pi epsilon_0R~~0,71` мФ. Чтобы ответить на 2-ой вопрос, снова воспользуемся формулой (2.2.3), выразив из неё `R=1//4pi epsilon_0C=9*10^6` км, что почти в `13` раз больше радиуса Солнца.

Оценить, какого размера должны быть пластины плоского воздушного конденсатора в форме квадратов, расстояние между которыми `d=1` мм, чтобы его электроёмкость равнялась `1` фараду?

По формуле (2.2.4) имеем `C=epsilon_0L^2//d`, откуда `L~~10,6` км.

Как изменится электроёмкость плоского конденсатора с воздушным зазором между пластинами площади `S` каждая и с расстоянием между пластинами `d`, если между обкладками конденсатора вставить параллельно обкладкам металлическую пластину толщиной `delta

Внутри металлической пластинки напряжённость электрического поля равна нулю, поэтому эта область не вносит вклада в разность потенциалов между обкладками конденсатора. Напряжённость в воздушном промежутке между обкладками конденсатора останется такой же, какой была до внесения пластинки (в целом электрически не заряженная пластинка не изменяет напряжённости поля вне её). Ёмкость конденсатора без пластинки вычислялась бы так:

После внесения пластинки уменьшится ширина области пространства между обкладками конденсатора, занятая полем (от `d` до `d-delta`); в итоге

Результат не зависит от месторасположения пластинки.

Электрическая емкость. Конденсаторы. Емкость конденсатора.

Уединенным будем называть проводник, размеры которого много меньше расстояний до окружающих тел. Пусть это будет шар радиусом r . Если потенциал на бесконечности принять за 0, то потенциал заряженного уединенного шара равен: , где e — диэлектрическая проницаемость окружающей среды. Следовательно:

эта величина не зависит ни от заряда, ни от потенциала и определяется только размерами шара (радиусом) и диэлектрической проницаемостью среды. Этот вывод справедлив для проводника любой формы.

Электрической емкостью проводника наз. отношение заряда проводника к его потенциалу: .

Емкость определяется геометрической формой, размерами проводника и свойствами среды (от материала проводника не зависит). Чем больше емкость проводника, тем меньше меняется потенциал при изменении заряда.

Емкость шара в СИ:

Единицы емкости.

Емкостью 1Ф (фарад) обладает такой проводник, у которого потенциал возрастает на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл.

Емкостью 1Ф обладал бы уединенный шар, радиус которого был бы равен 13 радиусам Солнца.

Емкость Земли 700 мкФ

Если проводник не уединенный, то потенциалы складываются по правилу суперпозиции и емкость проводника меняется.

1 мкФ=10 -6 Ф

1нФ=10 -9 Ф

1пФ=10 -12 Ф

Конденсаторы (condensare — сгущение) .

Можно создать систему проводников, емкость которой не зависит от окружающих тел. Первые конденсаторы — лейденская банка (Мушенбрук, сер. XVII в.).

Конденсатор представляет собой систему из двух проводников, разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников. Проводники наз. обкладками конденсатора. Если заряды пластин конденсатора одинаковы по модулю и противоположны по знаку, то под зарядом конденсатора понимают абсолютное значение заряда одной из его обкладок.

На рисунке — плоский и сферический конденсаторы. Поле плоского конденсатора почти все сосредоточено внутри (у идеального — все). Усферического — все поле сосредоточено между обкладками.

Электроемкостью конденсатора называют отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между обкладками: .

При подключении конденсатора к батарее аккумуляторов происходит поляризация диэлектрика внутри конденсатора и на обкладках появляютсязаряды — конденсатор заряжается. Электрические поля окружающих тел почти не проникают через металлические обкладки и не влияют на разность потенциалов между ними.

Емкость плоского конденсатора.

, т.о. емкость плоского конденсатора зависит только от его размеров, формы и диэлектрической проницаемости. Для создания конденсатора большой емкости необходимо увеличить площадь пластин и уменьшить толщину слоя диэлектрика.

Емкость сферического конденсатора .

Если зазор между обкладками мал по сравнению с радиусами, то формула переходит в формулу емкости плоского конденсатора.

Виды конденсаторов

При подключении электролитического конденсатора необходимо соблюдать полярность.

Назначение конденсаторов

1. Накапливать на короткое время заряд или энергию для быстрого изменения потенциала.
2. Не пропускать постоянный ток.
3. В радиотехнике: колебательный контур, выпрямитель.
4. Фотовспышка.