Что такое уединенный проводник в физике
Рассмотрим уединенный проводник, т. е. проводник, находящийся в однородной изотропной среде вдали от других проводников и заряженных тел. При сообщении такому проводнику избыточного заряда q последний распределяется по поверхности проводника с поверхностной плотностью , которая зависит от размеров и формы проводника.
Выделим на поверхности проводника малый элемент площади dS, полагая, что заряд этого элемента является точечным. В другой точке поверхности этого же проводника, отстоящей от элемента dS на расстояние r, этот заряд создает электрическое поле, потенциал которого равен
,где — относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится проводник. Интегрируя это выражение по всей поверхности проводника S, найдем потенциал, создаваемый в рассматриваемой точке всем проводником:
Так как в различных точках на поверхности проводника поверхностная плотность заряда имеет разные значения, то будем полагать, что , где k — некоторая функция координат выбранного элемента поверхности dS. Тогда выражение для потенциала проводника имеет вид
. (3.1)
В полученном выражении интеграл зависит от размеров и формы поверхности проводника, а также от расположения точки, для которой определяется потенциал.
Значения этого интеграла не зависят от величины заряда, сообщенного проводнику, т. е. одинаковы при различных значениях заряда q.
Из формулы (3.1) следует, что потенциал уединенного проводника прямо пропорционален его заряду и отношение заряда q к потенциалу для данного проводника есть величина постоянная. Это отношение называется электрической емкостью, или электроемкостью, проводника:
Электрическая емкость уединенного проводника зависит от его формы и размеров, а также от величины относительной диэлектрической проницаемости среды, в которой он находится. Электроемкость не зависит от материала проводника, его агрегатного состояния, от формы и размеров возможных полостей внутри проводника. Электроемкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.
В качестве примера найдем электроемкость уединенного проводящего шара радиуса R, покрытого слоем диэлектрика с относительной проницаемостью и толщиной d. Пусть шар имеет заряд q. Тогда напряженность поля, создаваемого шаром внутри диэлектрического слоя,
За пределами слоя напряженность поля определяется выражением:
Потенциал поверхности шара:
Таким образом, электроемкость шара, покрытого слоем диэлектрика, есть
В случае, если толщина диэлектрического слоя , емкость шара равна . При d=0 она равна .
Из приведенных соотношений следует, что потенциалы одинаково заряженных и геометрически подобных проводников должны быть обратно пропорциональны их линейным размерам, а их электрические емкости прямо пропорциональны этим размерам.
Электроемкость проводника численно равна заряду, который нужно сообщить этому проводнику для изменения его потенциала на единицу. В СИ единица измерения электрической емкости 1 фарада (Ф). Это емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл: 1 Ф = 1 Кл / 1 В.
Если вблизи проводника есть другие проводящие незаряженные тела, то при сообщении проводнику некоторого электрического заряда его потенциал будет меньше, чем потенциал уединенного проводника таких же формы и размеров. Это обусловлено тем, что на поверхностях тел, обращенных к заряженному проводнику, будут индуцироваться электрические заряды противоположного знака.
Для наглядности поясним это явление на примере. Пусть на некотором расстоянии от проводящего шара радиуса R расположен незаряженный металлический стержень длиной l так, что его ближний конец находится на расстоянии r от центра шара, а дальний — на расстоянии (r + l). Если шару сообщить положительный электрический заряд Q, то создаваемое шаром поле будет индуцировать на ближнем конце стержня заряд -q, а на дальнем заряд +q. Потенциал шара при этом будет равен
Следовательно, электроемкость проводника возрастает, если недалеко от него находятся другие проводящие тела. В этом случае принято говорить о взаимной электроемкости проводников.
Наибольший интерес представляет взаимная электроемкость системы из двух проводников с равными по величине и противоположными по знаку электрическими зарядами: |+q| = |- q| = q. Их взаимная электрическая емкость определяется как отношение заряда к разности потенциалов ,где разность потенциалов между проводниками.
1) От чего зависит электроемкость проводника
2) Изобразите качественно изменения Е и в плоском, цилиндрическом и сферическом конденсаторах с изменением расстояния от центра симметрии указанных систем
3) Как изменяется емкость проводника, если недалеко от него находятся другие проводящие тела.
ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА
Как было показано в разд. 2.19, заряженный проводник эквипотенциален, а избыточный заряд определённым образом распределён по его поверхности.
Характер распределения заряда по поверхности уединённого проводника зависит от формы проводника.
Если сообщить проводнику дополнительный заряд, то он распределится по его поверхности подобно первой порции заряда, поскольку форма проводника, по условию, не изменяется.
Но это означает, что при увеличении заряда уединённого проводника в п раз во столько же раз увеличится и напряжённость поля, созданного проводником.
Эго, в свою очередь, означает, что в п раз возрастёт и работа, необходимая для перемещения пробного заряда из бесконечности к проводнику, т. е. его (проводника) потенциал.
Следовательно, заряд проводника и его потенциал прямо пропорциональны друг другу.
Отношение заряда проводника к его потенциалу называется электроёмкостью (или просто ёмкостью) уединённого проводника:
Единицей измерения электроёмкости в Си является кулон на вольт (Кл/В = Ф (фарад)).
Следует заметить, что на практике используются меньшие величины единицы ёмкости. Это микрофарад (1мкФ =110 6 Ф) и пикофарад (1пФ= 1 • 10 12 Ф), идр.
Важно отметить, что ёмкость проводника зависит от окружающих его тел.
Это объясняется тем, что окружающие тела значительно влияют на поле, созданное проводником, за счёт индуцированных в окружающих телах зарядов. Например, при приближении к положительно заряженной плоскости другого проводника, на нём происходит перераспределение зарядов: на ближайшей к заряженной плоскости поверхности скапливаются отрицательные заряды, на удаленной — положительные. Эти заряды создают электрическое поле, которое, в свою очередь, влияет на распределение зарядов на плоскости.
Поскольку отрицательные заряды в данном случае расположены к плоскости ближе, их влияние сильнее и потенциал плоскости понизится. Это означает, что емкость плоскости растёт.
Полученный вывод является общим: электрическая емкость проводника, окруженного другими проводниками, всегда больше ёмкости такого же уединённого проводника.
Электроемкость уединенного проводника
Одной из электрических характеристик проводников является электроемкость. Эта величина зависит от геометрических размеров проводника и от свойств окружающего его диэлектрика. Кратко рассмотрим электроемкость уединенного проводника.
Распределение заряда в проводнике
Внутри любого проводника имеется много свободных носителей заряда. Но, пока общий заряд проводника равен нулю, заряд носителей (в металлах это свободные электроны) компенсируется противоположным по знаку зарядом ионов кристаллической решетки. Поэтому в незаряженном проводнике свободные носители зарядов распределены равномерно.
При сообщении проводнику заряда в нем образуется избыток свободных носителей. В этом случае силы их взаимного отталкивания приводят к тому, что носители выталкиваются на поверхность проводника, и равномерно распределяются по ней.
Равномерное распределение зарядов по поверхности приводит к тому, что:
- напряженность поля внутри проводника равна нулю, так как поле зарядов на разных сторонах проводника направлено противоположно;
- распределение потенциала по поверхности проводника оказывается равномерным;
- линии электрического поля около поверхности проводника направлены по нормали к ней.
Эти условия означают, что поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. В любой ее точке потенциал одинаков.
Электроемкость уединенного проводника
Уединенным называется проводник, рядом с которым нет тел, способных повлиять на распределение зарядов на поверхности этого проводника. Дополнительный заряд, переданный такому проводнику, распределится по его поверхности точно так же, прибавившись к уже имеющемуся в проводнике заряду. То есть, потенциал проводника прямо пропорционален сообщенному заряду:
Напомним, что потенциал в точке равен работе поля, которую надо совершить для переноса единичного заряда из бесконечности в эту точку. Как показывают опыты, потенциал заряженного проводника зависит от его формы и размеров. В самом деле, чем больше геометрические размеры проводника, тем больше его площадь, тем менее плотное распределение заряда будет на его поверхности (при одном и том же заряде), а значит, и работы для сообщения такого заряда требуется меньше.
Возникает возможность ввести специальную характеристику проводника, которая бы показывала, насколько легко сообщать ему заряд. Поскольку потенциал прямо пропорционален заряду, то эта характеристика представляет собой коэффициент пропорциональности, и называется электроемкость (обозначается $C$).
Формула электроемкости уединенного проводника:
Единица измерения электроемкости – фарад (Ф). Фарад – это электроемкость проводника, потенциал которого при сообщении ему заряда 1 кулон равен 1 вольт.
Фарад – это очень большая емкость. Например, электроемкость Земли (проводящего шара, размером с Землю) не превышает $10^$Ф, а электроемкость Солнца – $10^$Ф. Для создания электроемкости в электрических схемах применяют специальные устройства, имеющие заметную емкость (до единиц фарад) при малых размерах – конденсаторы.
Что мы узнали?
Заряд, сообщенный уединенному проводнику, равномерно распределяется по его поверхности, таким образом, поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. Ее потенциал прямо пропорционален сообщенному заряду. Коэффициент пропорциональности называется электроемкость, он измеряется в фарадах.
Электрическая емкость уединенного проводника
Уединенным называется проводник, вблизи которого нет других заряженных тел, которые могли бы повлиять на распределение зарядов данного проводника.
При сообщении уединенному проводнику некоторого количества электричества, заряды распределяются по его поверхности с различной поверхностной плотностью заряда σ, причем характер распределения зависит только от формы проводника. Каждая новая часть зарядов распределяется по поверхности проводника подобно предыдущей. Таким образом, σ = kq, где к – некоторая функция координат рассматриваемой поверхности. Разобьем всю поверхность проводника S на бесконечно малые элементы dS. Тогда , или, интегрируя по замкнутой поверхности S: .
Этот интеграл зависит только от размеров и формы поверхности проводника S, а также от диэлектрической проницаемости среды ε. Отсюда видно, что φ прямо пропорционально q. Отношение для данного проводника называется электрической емкостью.
Отношение величины заряда, который надо сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на 1В — есть величина постоянная, называемая электроемкостью С, где C= . .
Взаимная электроемкость. Конденсаторы
Пусть вблизи заряженного проводника А находятся незаряженные проводники или диэлектрики. Под действием поля проводника А в телах 1 и 2 возникают индуцированные (если 1 и 2 проводники) или связанные (если диэлектрики) заряды, причем ближе к А будут располагаться заряды противоположного знака (рис.). Индуцированные (или связанные) заряды создают свое поле и потенциал на поверхности проводника, причем противоположного знака, чем ослабляют потенциал проводника А, уменьшая его и увеличивая его электроемкость.
Взаимная электроемкость двух проводников численно равна заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой, чтобы изменить разность потенциалов между ними на единицу потенциала.
На практике существует потребность в устройствах, которые при относительно небольшом потенциале накапливали (конденсировали) бы на себе заметные по величине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, положен тот факт, что емкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Простейший плоский конденсатор состоит из двух близко расположенных проводников, заряженных равными по величине и противоположными по знаку зарядами. Образующие данную систему проводники называются обкладками.
Для того, чтобы поле, создаваемое заряженными обкладками, было полностью сосредоточено внутри конденсатора, обкладки должны быть в виде двух близко расположенных пластин, или коаксиальных цилиндров, или концентрических сфер. Соответственно конденсаторы называются плоскими, цилиндрическими или сферическими.
1. Найдем емкость шарового конденсатора.
Пусть заряд шара радиуса R1 равен q. Вне конденсатора поля, создаваемые внешней и внутренней обкладками конденсатора, взаимно уничтожаются. Поле между обкладками создается только зарядом шара радиуса R1, так как заряд сферы радиуса R2 внутри этой сферы не создает электростатического поля (на внутренних поверхностях замкнутых полых проводников избыточные заряды отсутствуют).
Тогда разность потенциалов ∆φ = φ1 – φ2=
Емкость конденсатора С= =
Если толщина зазора между обкладками d = R2 – R1 мала по сравнению с R2 и R1, то площади обкладок почти одинаковы
2. Емкость плоского конденсатора
Поле между обкладками конденсатора почти всюду однородно, если d много меньше линейных размеров обкладок конденсатора. Ранее было показано, что для поля, создаваемого двумя противоположно заряженными пластинами, Е = . Разность потенциалов между обкладками конденсатора ∆φ = Е∙d = . q= σ∙S . Тогда емкость:
C= , C = .Краевые эффекты мы не учитываем.
Конденсатор характеризуется не только электроемкостью, но и так называемым «пробивным напряжением» – разностью потенциалов, при которой может произойти пробой, то есть электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Это может произойти в очень сильных полях (порядка Епр10 7 В/м). Это «пробивное напряжение» зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.
Для получения устройств различной электроемкости конденсаторы соединяют параллельно и последовательно.
Параллельное соединение конденсаторов (Рис.). В данном случае соединенные провода-проводники имеют один и тот же потенциал, и разность потенциалов на обкладках всех конденсаторов одинакова и равна =U1=U2=….=Un . Заряды конденсаторов будут соответственно равны:
Заряд, запасенный всей батареей . Отсюда видно, что полная емкость системы из параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей всех конденсаторов.
Последовательное соединение конденсаторов (Рис. 1.16). В данном случае, вследствие явления электростатической индукции, заряды на всех обкладках q будут равны по модулю, а общая разность потенциалов складывается из разностей на отдельных конденсаторах:
Заключение. Таким образом, в данной лекции мы рассмотрели закон взаимодействия зарядов, основные характеристики электростатического поля, а также основные принципы поведения проводников в электростатическом поле и применение систем проводников в технике.